Студенческий семинар по маломерной топологии

Петербургский геометрический семинар им. А. Д. Александрова«Динамика кос, ограниченные когомологии и геометрия узлов»И. Алексеев13 апреля в 17:00Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 203Геометризационная программа Тёрстона естественным образом связывает динамику гомеоморфизмов поверхностей, геометрию трёхмерных многообразий и теорию узлов и зацеплений. В докладе я расскажу, как этот круг идей проявляется в теории кос. Коса естественным образом интерпретируется как класс отображений проколотого диска, а её замыкание задаёт узел или зацепление в трёхмерной сфере. Это приводит к вопросу о том, в какой мере топологию и геометрию замыкания можно восстановить по динамике соответствующей косы.Я объясню, почему естественными мерами сложности здесь оказываются асимптотические числа переноса действия группы кос на комплексах дуг и кривых. Эти величины отражают глобальную динамическую сложность косы и позволяют получать содержательные выводы о замыкании: признаки нетривиальности, простоты, гиперболичности и жёсткости минимальных кос-представителей, а также нижние оценки для рода Зейферта, числа перекрёстков и гиперболического объёма.Затем я покажу, как эта геометрическая картина связана с ограниченными когомологиями групп кос. Квазиморфизмы и соответствующие им полунормы дают эффективный инструмент для измерения динамической сложности, формируя мост между алгебраической и геометрической сторонами теории. Этот подход приводит к новым связям между ограниченными когомологиями, динамикой кос и геометрией узлов и зацеплений. Я также упомяну приложения, включая доказательство гипотезы Бигелоу и результаты, описывающие геометрическую слепоту инвариантов конечного типа (Васильева—Гусарова).

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теоремы единственности для закрученности кос» Илья Алексеев Закрученность (или коэффициент дробного…Завтра, в субботу 28 февраля, в 15:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):«Теоремы единственности для закрученности кос» (продолжение)Обновление: заседание перенесено

Студенческий коллоквиум «Когда динамика и геометрия совпадают: косы и узлы в программе Тёрстона» И. Алексеев 26 февраля в 17:30 14 линия В.О., 29, ауд. 201 Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей…https://youtu.be/Nf9gWegg0Pg

Студенческий коллоквиум«Когда динамика и геометрия совпадают: косы и узлы в программе Тёрстона»И. Алексеев26 февраля в 17:3014 линия В.О., 29, ауд. 201Геометризационная программа Уильяма Тёрстона связывает в единый сюжет униформизацию поверхностей, динамическую классификацию гомеоморфизмов поверхностей, геометрическую классификацию узлов и зацеплений и, наконец, геометризацию 3‑многообразий. Её главный тезис гласит: сложная топология малых размерностей кодируется хорошими геометрическими структурами. В докладе я расскажу, как этот сюжет проявляется в теории кос и узлов.По теореме Александера любое зацепление представляется в виде замкнутой косы, а по теореме Маркова сравнение таких представлений сводится к алгебре в группах кос. Сами косы имеют динамическую природу: группа кос изоморфна группе классов гомеоморфизмов диска с проколами. Это приводит к естественному вопросу: можно ли «увидеть» геометрию и топологию зацепления, наблюдая только за динамикой соответствующей косы? В частности, как динамическая классификация кос (периодические, приводимые и псевдо-аносовские) связана с геометрической классификацией зацеплений (торические, сателлитные и гиперболические)?Ключевым мостом будет действие группы кос на комплексе дуг и кривых. Я объясню, как асимптотическая динамика — через число переноса — отражает тип косы и служит измерителем «динамической сложности». Затем я покажу, как большие значения этого инварианта ведут к жёстким геометрическим выводам о замыкании косы — и как «наиболее интересная динамика» (псевдо-аносовские косы большой сложности) соответствует «наиболее богатой геометрии» (гиперболические зацепления большого объёма).

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Теоремы единственности для закрученности кос» Илья Алексеев Закрученность (или коэффициент дробного…https://youtu.be/YT6o5vWIo-A?si=2MeGGdvlcpWpRH5H

Завтра, в субботу 14 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Ограниченные когомологии и динамика групп классов отображений поверхностей» Илья Алексеев В 2013…https://youtu.be/fBlWXgPsFQE

Завтра, в субботу 21 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):«Теоремы единственности для закрученности кос»Илья АлексеевЗакрученность (или коэффициент дробного скручивания Дена) — это вещественнозначный инвариант сопряженности в группах кос, который измеряет то, насколько внешняя часть косы «закручена» или «перекручена». Закрученность является псевдохарактером (1-квазикоциклом) и допускает ряд естественных характеризаций в классе таких отображений. Доклад посвящен двум таким характеризационным теоремам, полученным А. Малютиным в 2004 году и П. Феллером в 2025 годуМы изложим базовые свойства закрученности и выведем из них теорему Малютина. Кроме того, мы обсудим действие группы кос на комплексе дуг, порядок Деорнуа на группах кос и теорему Фенна-Грини-Рольфсена-Рурка-Виста 1999 года об эквивалентности геометрического и алгебраического определений порядка Деорнуа, на которой основано рассуждение Феллера. Наконец, мы приведём новый аналог теоремы ФГРРВ, применимый для крашеных кос, и выведем из него теорему ФеллераЕсли позволит время, мы приведём интерпретацию характеризации Феллера как экстремального свойства закрученности относительно введённой ранее когомологической полунормы коc, а также изложим альтернативное доказательство теоремы Феллера, основанное на рассуждении Хонды-Казеза-Матича 2007 года

Семинар института Эйлера«Quantum Topology and Categorification»Ю. БелоусовПо вторникам в 15:3014 линия В.О., 29, ауд. 201ZoomСеминар посвящен изучению квантовых инвариантов узлов, зацеплений и трехмерных многообразий, а также их категорификаций. Эти конструкции и методы сформировались на стыке маломерной топологии, алгебры и математической физики и играют центральную роль в современных подходах к теории узлов и трехмерной топологии.Первые несколько встреч будут вводными: мы дадим краткий обзор квантовых инвариантов на примере полинома Джонса и обсудим идею категорификации на примере гомологий Хованова. Далее семинар будет проходить в формате докладов участников по выбранным работам. Мы будем обращаться как к классическим статьям, задавшим основные направления развития, так и к современным публикациям и препринтам по этим и близким темам.Семинар рассчитан на студентов старших курсов, магистров и аспирантов. Предполагается, что слушатели знакомы с теорией узлов.

В субботу 14 февраля, в 13:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev): «Об одном инварианте узлов» Анастасия Вахрина Доклад посвящён новому полиномиальному инварианту узлов, недавно…https://youtu.be/VZfBryJwBss

Завтра, в субботу 14 февраля, в 17:00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):«Ограниченные когомологии и динамика групп классов отображений поверхностей»Илья АлексеевВ 2013 году Дж. Этная и Ю. Ли поставили вопрос о связи между закрученностью (коэффициентом дробного скручивания Дена) класса отображения поверхности и его числом переноса в комплексе дуг. Для группы кос — то есть группы классов отображений проколотого диска — такое соотношение было установлено Т. Ито в 2018 году.В предыдущем докладе была введена когомологическая полунорма на группе кос, возникающая из ограниченных 2-коциклов, и доказано более общее утверждение: не только закрученность, но и эта полунорма контролирует число переноса косы в комплексе дуг. Это дало когомологическое объяснение результата Ито.Настоящий доклад посвящён обобщению этой теоремы на группы классов отображений произвольных поверхностей (с краем, проколами и замкнутых). Мы строим новые когомологические инварианты гомеоморфизмов поверхностей и показываем, что они дают универсальные нижние оценки для чисел переноса действия на комплексах дуг и кривых. В частности, из полученного результата следует положительный ответ на вопрос Этная и Ли.Рассматриваемая конструкция является частью более широкой программы, направленной на выявление систематической связи между ограниченными когомологиями групп классов отображений и динамикой их действия на гиперболических комплексах, что позволяет интерпретировать количественные динамические характеристики гомеоморфизмов поверхностей в когомологических терминах.